Joyetech cuboid tap 228w– третья версия знаменитого кубоида, теперь с сенсорным управлением

Эйлеров параллелепипед

Факсимиле работы Хальке 1719 года с описанием минимального эйлерова параллелепипеда. Квадраты его сторон равны 442=1936, 2402=57 600, 1172=13 689

Все пять примитивных эйлеровых параллелепипедов со сторонами и диагоналями меньшими 1000

Прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленны только рёбра и диагонали граней, называется эйлеровым. Самый маленький из эйлеровых параллелепипедов — (240, 117, 44), с диагоналями граней 267, 244 и 125, был найден в 1719 году. Ещё несколько эйлеровых параллелепипедов:

(275, 252, 240),
(693, 480, 140),
(720, 132, 85),
(792, 231, 160).

Эйлер описал два семейства эйлеровых параллелепипедов (отсюда название), которые задаются формулами аналогичными формулам для пифагоровых троек. Эти семейства включают не все эйлеровы параллелепипеды. Известно, что среди них не может быть совершенного кубоида. Полного описания всех эйлеровых параллелепипедов нет.

Одно из семейств, полученных Эйлером, задается формулами при n>3{\displaystyle n>3}:

a=n6−15n4+15n2−1,b=6n5−20n3+6n,c=8n5−8n{\displaystyle a=n^{6}-15n^{4}+15n^{2}-1,b=6n^{5}-20n^{3}+6n,c=8n^{5}-8n}.

Известны такие требования к эйлеровому параллелепипеду (а значит, и к совершенному кубоиду):

Одно ребро делится на 4, второе делится на 16, третье нечётное (если, конечно, он примитивный — то есть, НОД(a, b, c) = 1).
Одно ребро делится на 3 и ещё одно — на 9.
Одно ребро делится на 5.
Одно ребро делится на 11.

Существует не формульный способ получения значений сторон «производного» эйлерова параллелепипеда на основе значений «родительского» эйлерова параллелепипеда (8). Для этого в фигуре выделяется три треугольника с целочисленными значениями сторон. Далее – из полученных треугольников посредством подбора значения их котангенса – определяются пифагоровы тройки. Эти тройки заносятся в таблицу. Приемом перекрестной расстановки в таблице двух значений (из трех) пифагоровых троек (посредством определенного алгоритма математических операций) вычисляются значения трех сторон «производного» эйлерова параллелепипеда.